西电 - 工程优化方法

前言：答案由 @笨瓜同学提供，奉上感恩的心 (・̀ ω・́) y

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第 1、2 章测试

如果 $f (x) = 3x_1^2 + x_2^2 + ax_1x_2$ 为严格凸函数，则 $a$ 的取值范围为
$-\sqrt{12} \leqslant a \leqslant \sqrt{12}$
凸规划的可行域是凸集。
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凸规划的最优集是凸集。
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两个互相不交的凸集之间一定存在分离超平面。
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设 $f_1, f_2$ 是凸集 $D$ 上的凸函数，则 $f_1 + f_2$ 一定是凸函数。
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设 $f_1, f_2$ 是凸集 $D$ 上的凸函数，$g (x) = \max {f_1 (x), f_2 (x)}$ 一定是凸函数。
√
二阶可微函数在凸集 $D$ 上是凸函数的充要条件是其二阶海塞矩阵是半正定的。
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二阶可微函数在凸集 $D$ 上是严格凸函数的充要条件是其二阶海塞矩阵是正定的。
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设 $f_1, f_2$ 是凸集 $D$ 上的凸函数，则 $f_1 - f_2$ 一定是凸函数。
×
设 $f_1, f_2$ 是凸集 $D$ 上的凸函数，$g (x) = \min {f_1 (x), f_2 (x)}$ 一定是凸函数。
×
对凸规划而言，局部最优解即为全局最优解。
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若 $f (x)$ 是 $D$ 上的凸函数，$g (y)$ 是 $\mathbb {R}$ 上的单调递增凸函数，则 $g (f (x))$ 是 $D$ 上的凸函数。
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集合 $S$ 是紧集的充要条件是存在收敛的子列。
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优化问题的全局最优解一定小于或等于局部最优解。
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凸集与其边界的交集一定是该凸集的极端点集合。
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函数在与其梯度成锐角的方向上是上升的。
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函数在与其梯度成钝角的方向上是下降的。
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凸集的凸组合一定是凸集内的点。
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凸集的任意子集一定是凸集。
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线性函数的 Hessian 矩阵全为 0 矩阵。
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非零梯度方向与函数等值面的切平面垂直。
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梯度的反方向是函数局部下降最快的方向。
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光滑的约束优化问题的最优集一定是闭集。
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凸规划的对偶问题不一定是凸规划问题。
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梯度方向是函数全局变化最快的方向。
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第 3、4 章测试

如果 $f (x) = 3x_1^2 + x_2^2 + 8x_1x_2$，用 Newton 法求该函数的极小点，取 $x^0 = (2,3)^T$，迭代一步得到的点为
$(0,0)^T$
用黄金分割法求函数 $x^2 - x + 1$ 在 $[0,1]$ 区间上的极小值点，第一步取的两个点为
0.382, 0.618
对二次函数 $f (x) = 0.5x_1^2 + x_2^2$，取初始点 $x^{(0)} = (2,1)^T$，用精确一维搜索的最速下降法一步得到的下一迭代点为
$x^{(1)} = (0, -1)^T$
变尺度法也是一种共轭梯度算法。
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变尺度法具有二次终止性。
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变尺度法具有超线性收敛性。
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DFP 方法的任意点的搜索方向和梯度方向是正交的。
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DFP 方法和 BFGS 方法都是秩 2 修正算法。
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共轭梯度法求解无约束优化问题的重置技巧主要由于直接延续技巧。
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共轭梯度法的前后两个迭代点的梯度方向是正交的。
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牛顿法不会产生锯齿现象。
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对于二元凸二次函数，从任意点出发，共轭方向至多迭代两步就可以找到原问题的极小值点。
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共轭梯度法具有二次终止性。
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N 个共轭方向可以构成 N 维欧里得空间的一组基。
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共轭梯度法从任意初始点出发，最多 n 步迭代到达 n 元正定二次函数的极小点。
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对非二次函数，由于目标函数的 Hesse 矩阵不再是常数矩阵，因而产生的方向不再是共轭方向。
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如果初始方向不用负梯度方向，共轭梯度算法的收敛速率可能像线性收敛速率那样慢。
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极小化非正定二次函数，PRP 共轭梯度算法的计算效果要好于 FR 共轭梯度法。
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最速下降法求解无约束凸二次优化问题，如果二阶海塞矩阵是单位矩阵，则从任意点出发迭代一步可以得到原问题的最优解。
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函数的负梯度方向是下降方向。
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牛顿法求解凸二次函数，迭代一步可以得到问题的全局极小点。
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牛顿法具有二次终止性。
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牛顿法具有局部二阶收敛性，对初始点要求高。
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牛顿法具有全局二阶收敛性。
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经典的牛顿法一定是收敛的。
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平行切线法可以加快最速下降方法的收敛速度。
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最速下降法不适合求解病态的无约束优化问题。
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最速下降法具有全局收敛性。
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二分法适合求解一维非光滑函数的最小值。
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黄金分割算法的三大原则是对称原则、等比收缩与区间分割。
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水平集有界是最速下降方法收敛的一个需要假设的条件。
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对二元正定二次函数，用最速下降法产生的点列：偶数点列均在一条直线上，奇数点列也均在一条直线上，且都过最优点。
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最速下降法在两个相邻点之间的搜索方向是正交的。
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最速下降法仅仅是指某点的一个局部性质。
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最速下降法具有二次终止性。
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黄金分割算法适合求解一维非光滑函数的最小值。
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无约束优化问题的驻点一定是局部最优解。
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无约束优化问题的局部最优点一定是全局最优解。
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第 5、6 章测试

在三维空间中，集合 ${(x,y) \mid x^2 + y^2 \le 1}$ 的极点构成的集合为
${(x,y) \mid x^2 + y^2 = 1}$
如下线性规划的对偶规划为
$\max \ 4y_1 - y_2$
$s.t. \ y_1 - 3y_2 \le 2$
$y_1 + 5y_2 = -3$
$y_1 \le 0, y_2 \ge 0$
如果原规划的基本解还是对偶规划的可行解，则也是原规划的最优解。
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松弛变量和剩余变量不是合法变量。
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两阶段法的第一阶段不需要原问题的目标函数。
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大 M 法通过添加罚项可以迫使人工变量离基。
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对偶规划中的变量就是影子价格。
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极小化问题给出极大化问题的目标函数值的上界。
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极大化问题给出极小化问题的目标函数值的下界。
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如果对偶可行的基本解还是原规划的可行解，则也是对偶规划的最优解。
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线性规划的基本解和顶点是一一对应的。
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线性规划的最优解一定在其可行域的顶点上取到。
×
如果可行域有界，则线性规划的最优解一定在其可行域的顶点上取到。
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若线性规划问题存在可行解，则一定存在基本可行解。
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若线性规划问题存在有限的最优解，则一定存在最优的基本可行解。
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如果一个线性规划存在两个最优解，那么一定存在多个最优解。
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单纯形法求解线性规划不会发生循环现象。
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人工变量是合法变量。
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线性规划的基本解的个数是有限的。
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线性规划的可行解的个数是有限的。
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线性规划的基本可行解和顶点一一对应。
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线性规划的可行域的顶点个数是有限的。
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凸多胞形的顶点个数是有限的。
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所有凸集的极点个数一定是有有限的。
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凸多面体的极方向的个数是有限的。
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线性规划的基本可行解的个数是有限的。
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第 7、8、9 章测试

如下二次规划在 $(0,0)^T$ 点处的可行下降方向为
$d = (1,1)^T$
考虑如下带约束优化问题，点 $(0,1)^T$ 处的积极约束为
$5 - x_1 - 5x_2 \ge 0, \quad x_1 \ge 0$
用乘子法求解如下问题，其增广拉格朗日函数为
$\min f(x)+\lambda (x_1-x_2)+\frac{1}{\mu}(x_1-x_2)^2,\quad \mu >0$
外点罚函数法除了最优点外其他的迭代点不是可行点。
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内点罚函数法的迭代点一定是可行点。
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Zoutendijk 可行方向算法一定是收敛的。
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Zoutendijk 可行方向算法的方向映射和步长映射的复合映射是闭的。
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Zoutendijk 可行方向法如果经过有限步迭代终止，则可得到规划的一个 K - T 点。
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内点罚函数法不适合求解带等式约束的非线性规划。
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凸规划的 K - T 点是全局最优解。
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凸规划的 K - T 点是局部最优解。
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非线性规划问题的 F - J 点是 K - T 点。
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非线性规划的 K - T 点一定是 F - J 点。
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