第二章多址接入信道（Multiple Access Channels）

课程: 网络信息论（Network Information Theory）
教材: A. El Gamal and Y.-H. Kim, Network Information Theory, Cambridge University Press, 2011
整理说明: 本章介绍多址接入信道（MAC）的容量区域理论——从数学模型、容量定理、可达性证明（同时译码与逐次干扰消除）、时间共享与凸壳、高斯 MAC、到 5G NOMA 技术。
免责声明：本笔记内容来源于课程讲义和PPT，经AI辅助汇总完成，仅供学习参考。如有错误或遗漏，请以原始课程资料为准。

多用户信道容量概述（§2.1）
多址接入信道模型与容量定理（§2.2）
可达性证明：同时译码（§2.3）
MAC 容量区域的进一步讨论（§2.4）
逐次干扰消除译码（§2.5）
高斯多址接入信道（§2.6）
5G 中的非正交多址技术（§2.7）
本章小结（§2.8）
考试重点速查表

1. 多用户信道容量概述（§2.1）

1.1 从点对点到多用户

在第一章中，信道的性能极限由一个数——容量 $C$（bits/channel use）——来刻画。进入多用户场景后，情况发生了根本性变化：

多用户信道容量由”速率区域（Rate Region）”来刻画——区域中的每个点是一个速率向量 $(R_1, R_2, \ldots, R_K)$，表示所有用户可以同时以这些速率可靠通信（各自 $P_e \to 0$）。

1.2 容量区域与和速率

    graph LR
    subgraph 点对点信道
        C1["容量 C<br/>(一个数)"]
    end
    subgraph 多用户信道
        C2["容量区域 C<br/>(一个区域)"]
        C2 --> R1["R₁"]
        C2 --> R2["R₂"]
    end

概念	定义
容量区域 $\mathcal{C}$	所有可达速率向量的集合的闭包。$\mathcal{C} = {(R_1, \ldots, R_K) : \text{所有 } R_k \text{ 可以同时可靠可达}}$
和速率容量 $C_{\text{sum}}$	$C{\text{sum}} = \max{(R1,\ldots,R_K) \in \mathcal{C}} \sum{k=1}^{K} R_k$ 一个单一数值
和速率点	容量区域边界上的一个点（对 AWGN BC 而言）

关键理解: 在多用户场景中，不同用户之间共享信道资源，存在速率权衡（Rate Trade-off）——一个人速率提高往往意味着另一个人速率降低。容量区域的边界精确刻画了这种权衡的最优前沿。

2. 多址接入信道模型与容量定理（§2.2）

2.1 MAC 的数学模型

离散无记忆 MAC 由 $(\mathcal{X}_1, \mathcal{X}_2, \mathcal{Y}, P(y|x_1, x_2))$ 描述，其中两个发送端独立编码、一个接收端联合译码。

MAC 系统框图

    graph TB
    W1["W₁ ∈ {1,…,2<sup>nR₁</sup>}"] --> ENC1["编码器 1<br/>X₁<sup>n</sup>(W₁)"]
    W2["W₂ ∈ {1,…,2<sup>nR₂</sup>}"] --> ENC2["编码器 2<br/>X₂<sup>n</sup>(W₂)"]
    ENC1 -->|"X₁<sup>n</sup>"| CH["MAC<br/>P(y|x₁,x₂)"]
    ENC2 -->|"X₂<sup>n</sup>"| CH
    CH -->|"Y<sup>n</sup>"| DEC["译码器<br/>g(Y<sup>n</sup>)"]
    DEC --> W1HAT["Ŵ₁"]
    DEC --> W2HAT["Ŵ₂"]

关键特征:

发端独立: $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立——两个用户之间不能协作编码。
收端合作: 接收端同时收到叠加的信号，可以联合处理——这就是干扰抑制的来源。
信道: 离散无记忆，即 $P(y^n|x1^n, x_2^n) = \prod{i=1}^{n} P(yi|x{1,i}, x_{2,i})$。

2.2 码的定义

一个 $(2^{nR_1}, 2^{nR_2}, n)$ 码由以下部分组成：

组件	定义
消息集	$W_1 = {1, 2, \ldots, 2^{nR_1}}$，$W_2 = {1, 2, \ldots, 2^{nR_2}}$
编码函数	$f_1: W_1 \to \mathcal{X}_1^n$，$f_2: W_2 \to \mathcal{X}_2^n$
译码函数	$g: \mathcal{Y}^n \to W_1 \times W_2$

性能度量——平均错误概率（假设消息在 $W_1 \times W_2$ 上均匀分布）:

$P_e^{(n)} = \frac{1}{2^{n(R_1+R_2)}} \sum_{(w_1,w_2) \in W_1 \times W_2} P\big(g(Y^n) \neq (w_1, w_2) \mid (w_1, w_2) \text{ 发送}\big)$

2.3 可达速率与容量区域

速率对 $(R_1, R_2)$ 是可达的，如果存在一列 $(2^{nR_1}, 2^{nR_2}, n)$ 码使得 $P_e^{(n)} \to 0$。

容量区域是所有可达速率对 $(R_1, R_2)$ 的集合的闭包。

2.4 MAC 容量定理（Theorem 2.2.1）⭐

定理 2.2.1（MAC 容量区域）: 容量区域是所有满足以下条件的速率对 $(R_1, R_2)$ 的凸壳的闭包：
$\begin{aligned} R_1 &< I(X_1; Y | X_2) \\\\ R_2 &< I(X_2; Y | X_1) \\\\ R_1 + R_2 &< I(X_1, X_2; Y) \end{aligned}$
其中联合分布为 $P(x_1)P(x_2)P(y|x_1, x_2)$（即 $X_1 \perp X_2$）。

容量区域的形状（五边形区域）:

    graph TB
    subgraph MAC容量区域
        direction TB
        A["A: (0, I(X₂;Y))"]
        B["B: (I(X₁;Y), I(X₂;Y|X₁))"]
        C["C: (I(X₁;Y|X₂), I(X₂;Y))"]
        D["D: (I(X₁;Y), 0)"]
    end

以坐标图示意：

R₂
^
|  A(0, I(X₂;Y))
|  |＼
|  |   ＼  B(I(X₁;Y), I(X₂;Y|X₁))
|  |      ＼
|  |  C(I(X₁;Y|X₂), I(X₂;Y))
|  |       ／
|  |    ／
|  | ／
|  D(I(X₁;Y), 0)
+-----------------------> R₁

上边界: $R_1 + R_2 = I(X_1, X_2; Y)$——和速率上界
左边垂直线段: $R_1 < I(X_1; Y|X_2)$
右边垂直线段: $R_2 < I(X_2; Y|X_1)$
角点 A: 用户 2 全速，用户 1 不传 → $(0, I(X_2; Y))$
角点 D: 用户 1 全速，用户 2 不传 → $(I(X_1; Y), 0)$
角点 B: $R_1 = I(X_1; Y)$，$R_2 = I(X_2; Y|X_1)$（先译用户 2，再译用户 1）
角点 C: $R_1 = I(X_1; Y|X_2)$，$R_2 = I(X_2; Y)$（先译用户 1，再译用户 2）

📌 定理的数学含义: 对每个独立的输入分布 $P(x_1)P(x_2)$，得到一个五边形区域 $R(X_1, X_2)$。最终的容量区域是所有这样的五边形的并集的凸壳。

2.5 典型 MAC 实例

例 1: 独立 BSC 信道

    graph LR
    X1("X₁ ∈ {0,1}") --> BSC1["BSC(ε₁)"]
    X2("X₂ ∈ {0,1}") --> BSC2["BSC(ε₂)"]
    BSC1 -->|"Y₁"| PLUS(("Y = (Y₁,Y₂)"))
    BSC2 -->|"Y₂"| PLUS

两个用户各经过一个独立 BSC 到达接收端。容量区域可直接由定理 2.2.1 计算。

例 2: 二元乘法信道（Binary Multiplier Channel）

$Y = X_1 \cdot X_2$

$\mathcal{X}_1 = \mathcal{X}_2 = {0, 1}$，$\mathcal{Y} = {0, 1}$
令 $X_1 = 1$（固定），用户 2 可以达到速率 $R_2 = 1$
即使两用户协作，和速率的上界也是 1
通过时间共享（Time-Sharing）可以达到 $R_1 + R_2 = 1$

启示: 乘法信道本质上是”破坏性”的——一个用户传 0 时会”淹没”另一用户的信息。这体现了多址接入中干扰的极端形式。

例 3: 二元擦除 MAC（Binary Erasure MAC）

$Y = X_1 + X_2, \quad \mathcal{X}_1 = \mathcal{X}_2 = \{0, 1\}, \quad \mathcal{Y} \in \{0, 1, 2\}$

单用户最大速率: $R_i = 1$（$i = 1, 2$）
当用户 1 以最大速率 $R_1 = 1$ 传输（$X_1$ 服从 Bernoulli(1/2)），用户 2 面对的等效信道是一个擦除概率为 $1/2$ 的 BEC，$C_2 = 1/2$
利用逐次干扰消除（Successive Cancellation）可以达到边界点

    graph LR
    subgraph 二元擦除MAC
        X1["X₁ ∈ {0,1}"] --> PLUS(("Y = X₁+X₂<br/>Y ∈ {0,1,2}"))
        X2["X₂ ∈ {0,1}"] --> PLUS
    end

例 4: 高斯 MAC（Gaussian MAC）

$Y = X_1 + X_2 + Z, \quad Z \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$

这是最重要的 MAC 模型，将在 §2.6 中详细分析。

3. 可达性证明：同时译码（§2.3）

本节给出 MAC 容量定理的可达性证明，这是理解多用户信息论证明技术的核心。

3.1 编码方案（随机编码）

固定输入分布: $P(x_1, x_2) = P(x_1)P(x_2)$（独立分布）
随机生成码本:
- 码本 1: 独立生成 $2^{nR_1}$ 个码字，每个码字的 $n$ 个分量 i.i.d. 服从 $P(x_1)$
- 码本 2: 独立生成 $2^{nR_2}$ 个码字，每个码字的 $n$ 个分量 i.i.d. 服从 $P(x_2)$
编码: 编码器根据消息 $W_1 = i$ 选择码字 $\mathbf{x}_1(i)$；编码器 2 根据消息 $W_2 = j$ 选择码字 $\mathbf{x}_2(j)$。两者独立选择。

3.2 译码方案（同时译码 / Simultaneous Decoding）

同时译码规则: 若存在唯一的码字对 $(\mathbf{x}_1(i), \mathbf{x}_2(j))$ 使得与接收序列 $\mathbf{y}$ 联合典型：
$(\mathbf{x}_1(i), \mathbf{x}_2(j), \mathbf{y}) \in T_\varepsilon^{(n)}$
则译码为 $(\hat{W}_1, \hat{W}_2) = (i, j)$；否则宣布错误。

3.3 错误概率分析（证明的核心）

不失一般性，假设发送的是 $(i, j) = (1, 1)$。定义事件：

$E_{i,j} = \left\{(\mathbf{x}_1(i), \mathbf{x}_2(j), \mathbf{y}) \in T_\varepsilon^{(n)}\right\}$

错误概率:

$P_e^{(n)} = P\left(E_{1,1}^c \cup \bigcup_{(i,j) \neq (1,1)} E_{i,j}\right)$

利用 Union Bound:

$P_e^{(n)} \leq P(E_{1,1}^c) + \sum_{i=1, j \neq 1} P(E_{1,j}) + \sum_{i \neq 1, j=1} P(E_{i,1}) + \sum_{i \neq 1, j \neq 1} P(E_{i,j})$

四类错误的逐一分析

错误类型	场景	概率界	需要的条件
$E_{1,1}^c$	正确码字对不典型	$\to 0$（联合 AEP）	无条件
$E_{i,1}$ ($i \neq 1$)	用户 1 错 + 用户 2 对	$\leq 2^{-n[I(X_1;Y\vert X_2)-3\varepsilon]}$	$R_1 < I(X_1;Y\vert X_2)$
$E_{1,j}$ ($j \neq 1$)	用户 1 对 + 用户 2 错	$\leq 2^{-n[I(X_2;Y\vert X_1)-3\varepsilon]}$	$R_2 < I(X_2;Y\vert X_1)$
$E_{i,j}$ ($i,j \neq 1$)	两用户都错	$\leq 2^{-n[I(X_1,X_2;Y)-2\varepsilon]}$	$R_1+R_2 < I(X_1,X_2;Y)$

详细推导（以 $E_{i,j}$ 为例，$i, j \neq 1$）

当 $i \neq 1, j \neq 1$ 时，$\mathbf{x}_1(i)$、$\mathbf{x}_2(j)$ 和 $\mathbf{y}$ 是相互独立地从各自的边际分布中抽取的。因此：

$\begin{aligned} P(E_{i,j}) &= \sum_{(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{y}) \in T_\varepsilon^{(n)}} P(\mathbf{x}_1)P(\mathbf{x}_2)P(\mathbf{y}) \\\\ &\leq |T_\varepsilon^{(n)}| \cdot 2^{-n[H(X_1)-\varepsilon]} \cdot 2^{-n[H(X_2)-\varepsilon]} \cdot 2^{-n[H(Y)-\varepsilon]} \\\\ &\leq 2^{n[H(X_1,X_2,Y)+\varepsilon]} \cdot 2^{-n[H(X_1)+H(X_2)+H(Y)-3\varepsilon]} \\\\ &= 2^{-n[I(X_1,X_2;Y)-2\varepsilon]} \end{aligned}$

其中关键一步使用了恒等式：

$\begin{aligned} H(X_1,X_2,Y) - [H(X_1)+H(X_2)+H(Y)] &= H(Y|X_1,X_2) - H(Y) \\\\ &= -I(X_1,X_2;Y) \end{aligned}$

因为 $X_1, X_2$ 独立，$H(X_1)+H(X_2) = H(X_1,X_2)$。

对 $i \neq 1$ 的和式:

$\sum_{i \neq 1, j \neq 1} P(E_{i,j}) \leq 2^{nR_1} \cdot 2^{nR_2} \cdot 2^{-n[I(X_1,X_2;Y)-2\varepsilon]} = 2^{-n[I(X_1,X_2;Y)-R_1-R_2-2\varepsilon]}$

当 $R_1 + R_2 < I(X_1, X_2; Y)$ 时，此项 $\to 0$。

详细推导（以 $E_{i,1}$ 为例，$i \neq 1$）

此时 $\mathbf{x}_2(1)$ 和 $\mathbf{y}$ 是从联合分布中抽取的（相关），而 $\mathbf{x}_1(i)$ 是独立抽取的：

$\begin{aligned} P(E_{i,1}) &= \sum_{(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{y}) \in T_\varepsilon^{(n)}} P(\mathbf{x}_1)P(\mathbf{x}_2, \mathbf{y}) \\\\ &\leq |T_\varepsilon^{(n)}| \cdot 2^{-n[H(X_1)-\varepsilon]} \cdot 2^{-n[H(X_2,Y)-\varepsilon]} \\\\ &\leq 2^{n[H(X_1,X_2,Y)+\varepsilon]} \cdot 2^{-n[H(X_1)+H(X_2,Y)-2\varepsilon]} \\\\ &= 2^{-n[I(X_1;Y|X_2)-3\varepsilon]} \end{aligned}$

其中恒等式链：

$\begin{aligned} H(X_1,X_2,Y) - [H(X_1)+H(X_2,Y)] &= H(X_1|X_2,Y) - H(X_1) \\\\ &= -I(X_1; X_2, Y) \\\\ &= -[I(X_1; X_2) + I(X_1; Y|X_2)] \\\\ &= -I(X_1; Y|X_2) \quad (\text{因为 } X_1 \perp X_2) \end{aligned}$

总错误概率上界

汇总以上分析：

$\begin{aligned} P_e^{(n)} &\leq P(E_{1,1}^c) \\\\ &\quad + 2^{nR_1} \cdot 2^{-n[I(X_1;Y|X_2)-3\varepsilon]} \\\\ &\quad + 2^{nR_2} \cdot 2^{-n[I(X_2;Y|X_1)-3\varepsilon]} \\\\ &\quad + 2^{n(R_1+R_2)} \cdot 2^{-n[I(X_1,X_2;Y)-2\varepsilon]} \end{aligned}$

当满足定理 2.2.1 的三个不等式时，所有项随 $n \to \infty$ 而趋于 0。

结论: 平均错误概率可任意小，因此存在至少一个好码 $C^$ 使 $P_e^{(n)} \to 0$。这就证明了定理 2.2.1 中的速率区域是*可达的。

3.4 关于边界点

不同的译码顺序可以达到五边形的不同角点：

角点	速率对	译码策略
B	$(I(X_1;Y), I(X_2;Y\vert X_1))$	先译用户 2（将用户 1 当噪声），再译用户 1
C	$(I(X_1;Y\vert X_2), I(X_2;Y))$	先译用户 1（将用户 2 当噪声），再译用户 1

角点可用逐次干扰消除（SIC）达到——在信息论意义下 SIC 是最优的。
非角点: 通过时间共享（Time-Sharing）在角点之间插值达到。

4. MAC 容量区域的进一步讨论（§2.4）

时间共享是时分多址（TDMA）的推广：允许发送端在每个时隙中同时以不同速率传输，而非轮流独占信道。

    graph LR
    subgraph 时间共享构造
        TS1["λn 个符号<br/>使用码本 1<br/>速率 R = (R₁,R₂)"]
        TS2["(1-λ)n 个符号<br/>使用码本 2<br/>速率 R' = (R₁',R₂')"]
        TS1 --> TS2
    end

构造: 给定两个不同速率的码序列，构造第三个码——前 $\lambda n$ 个符号使用码本 1，后 $(1-\lambda)n$ 个符号使用码本 2。
可达速率: $R_{\text{new}} = \lambda R + (1-\lambda)R’$
译码: 分别对两段进行独立译码。

TDMA 和 FDMA 都是时间共享的特例——分别在 $(R_1, 0)$ 和 $(0, R_2)$ 两个点之间时间共享。

4.2 凸壳（Convex Hull）

由于两个用户可以使用独立的输入分布，每个乘积分布 $P(x_1)P(x_2)$ 对应一个可达区域 $R_p$。所有 $R_p$ 的并集不一定是凸的，但通过时间共享可以取凸壳来获得更大的可达区域。

凸壳的定义: 集合 $S$ 的凸壳是包含 $S$ 的最小凸集，等价于 $S$ 中点的所有凸组合的集合。

    graph TB
    subgraph 凸壳示意
        direction LR
        R1["Rₚ₁ 区域"]
        R2["Rₚ₂ 区域"]
        R3["Rₚ₃ 区域"]
    end
    CH["凸壳 = 包含所有 Rₚ 的最小凸集"]
    R1 --> CH
    R2 --> CH
    R3 --> CH

用时间共享变量 $Q$ 表示凸组合

引入随机变量 $Q$（$|Q| \leq 3$，实际上 $\vert Q\vert \leq 2$ 就足够了），取值为 $i$ 的概率为 $\lambda_i$，定义联合分布：

$P(q, x_1, x_2, y) = P(q) \cdot P(x_1|q) \cdot P(x_2|q) \cdot P(y|x_1, x_2)$

其中 $P(x_1|q)P(x_2|q) = P_q(x_1, x_2)$（即当 $Q=q$ 时的 $(X_1, X_2)$ 分布）。

于是凸壳中的任意点满足：

$R_1 < I(X_1; Y | X_2, Q), \quad R_2 < I(X_2; Y | X_1, Q), \quad R_1+R_2 < I(X_1, X_2; Y | Q)$

因为：

$I(X_1; Y | X_2, Q) = \sum_q P(q) I_{P_q}(X_1; Y | X_2)$

关键: 引入 $Q$ 后，互信息是各 $R_q$ 区域中速率的凸组合。因此引入 $Q$ 等价于已做时间共享——不必再额外取凸运算。

4.3 时间共享变量的基数界

$\vert Q\vert \leq 2$ 就足够了！

理由: 凸壳中的任意点都可以表示为至多两个$R(X_1, X_2)$ 区域中点的凸组合（Carathéodory 定理在二维中的推论）。

每个点都在不超过两个 $R(X_1, X_2)$ 区域的并集的凸闭包中。

    graph TB
    subgraph Fig 2.8 解释
        direction LR
        subgraph a["(a) 两个区域"]
            A1["Rₚ₁"] 
            A2["Rₚ₂"]
        end
        subgraph b["(b) 凸组合"]
            B1["λR₁ + (1-λ)R₂"]
        end
    end

Han–Kobayashi (1981) 提出了一种更精细的时间共享方法：

随机生成时间共享序列: $\mathbf{q}^n \sim \prod_{i=1}^{n} P_Q(q_i)$
条件独立生成码字: 在给定 $\mathbf{q}^n$ 的条件下，独立生成：
- $\mathbf{x}_1^n(w_1) \sim \prod_{i=1}^{n} P_{X_1|Q}(x_{1,i}|q_i)$
- $\mathbf{x}_2^n(w_2) \sim \prod_{i=1}^{n} P_{X_2|Q}(x_{2,i}|q_i)$

与普通时间共享的区别: 编码时间共享中，$Q$ 序列也作为码本的一部分随机生成，而非预先固定。

4.5 和速率容量

$\begin{aligned} C_{\text{sum}} &= \max_{P(q)P(x_1|q)P(x_2|q)} I(X_1, X_2; Y | Q) \quad \text{（凸的）}\\\\ &= \max_{P(x_1)P(x_2)} I(X_1, X_2; Y) \quad \text{（一般非凸）} \end{aligned}$

困难: 第二个最大化问题一般不是凸的，这正是需要时间共享来凸化容量区域的原因。

5. 逐次干扰消除译码（§2.5）

除了 §2.3 中的同时译码方案，MAC 容量区域的角点也可以通过逐次干扰消除（Successive Cancellation, SC）译码来达到。

5.1 目标

达到五边形区域 $R(X_1, X_2)$ 的两个角点之一，例如：

$R_1 < I(X_1; Y), \quad R_2 < I(X_2; Y | X_1)$

（这对应于先译 $X_1$，再译 $X_2$的角点 B。）

5.2 译码步骤

    graph TB
    Y["接收 Y<sup>n</sup>"] --> STEP1["步骤 1: 译用户 1<br/>找唯一 Ŵ₁ 使得<br/>(X₁<sup>n</sup>(Ŵ₁), Y<sup>n</sup>) ∈ T<sub>ε</sub><sup>(n)</sup>"]
    STEP1 -->|"找到 Ŵ₁"| STEP2["步骤 2: 译用户 2<br/>找唯一 Ŵ₂ 使得<br/>(X₁<sup>n</sup>(Ŵ₁), X₂<sup>n</sup>(Ŵ₂), Y<sup>n</sup>) ∈ T<sub>ε</sub><sup>(n)</sup>"]
    STEP2 --> OUT["输出 (Ŵ₁, Ŵ₂)"]
    STEP1 -->|"失败"| ERR["宣布错误"]
    STEP2 -->|"失败"| ERR

5.3 错误事件（假设发送 $(W_1, W_2) = (1, 1)$）

事件	条件	概率控制
$E_1$	$(\mathbf{x}_1(1), \mathbf{x}_2(1), \mathbf{y}) \notin T_\varepsilon^{(n)}$	联合 AEP $\to 0$
$E_2$	$\exists w_1 \neq 1: (\mathbf{x}_1(w_1), \mathbf{y}) \in T_\varepsilon^{(n)}$	$R_1 < I(X_1;Y)$
$E_3$	$\exists w_2 \neq 1: (\mathbf{x}_1(1), \mathbf{x}_2(w_2), \mathbf{y}) \in T_\varepsilon^{(n)}$	$R_2 < I(X_2;Y\vert X_1)$

另一角点的可达性通过交换译码顺序得到。非角点通过时间共享达到。

5.4 同时译码 vs 逐次干扰消除

对于 DM-MAC，同时译码（Simultaneous Decoding）并不比逐次干扰消除（SC Decoding）+ 时间共享达到更高的速率。两者都能达到相同的容量区域。

译码方法	特点
同时译码	一步找到与接收序列联合典型的码字对；不需要指定译码顺序
逐次干扰消除	先译一个用户（将另一个当噪声），消除后再译第二个；译码顺序有先后
时间共享 + SC	可以达到整个容量区域（包括非角点）

6. 高斯多址接入信道（§2.6）

高斯 MAC 是最重要的多址信道模型，直接描述了无线通信中多个用户同时向基站发送信号的基本场景。

6.1 基本模型

$Y = X_1 + X_2 + Z, \quad Z \sim \mathcal{N}(0, \sigma_z^2)$

    graph TB
    X1["X₁ ~ N(0,P₁)"] --> PLUS(("+"))
    X2["X₂ ~ N(0,P₂)"] --> PLUS
    Z["Z ~ N(0,σ²)"] --> PLUS
    PLUS --> Y["Y"]

功率约束（每用户）:

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{j,i}^2(w_j) \leq P_j, \quad j \in \{1, 2\}$

6.2 高斯 MAC 容量区域

令 $C(x) = \frac{1}{2}\log_2(1 + x)$，则容量区域为：

$\boxed{ \begin{aligned} R_1 &\leq C\left(\frac{P_1}{\sigma_z^2}\right) \\\\ R_2 &\leq C\left(\frac{P_2}{\sigma_z^2}\right) \\\\ R_1 + R_2 &\leq C\left(\frac{P_1 + P_2}{\sigma_z^2}\right) \end{aligned}}$

最优输入分布: $X_1 \sim \mathcal{N}(0, P_1)$，$X_2 \sim \mathcal{N}(0, P_2)$（星座成形/Constellation Shaping）。

    graph LR
    subgraph 高斯MAC容量区域
        direction TB
        A2["C(P₂/σ²)"]
        D2["C(P₁/σ²)"]
        SUM["C((P₁+P₂)/σ²)"]
    end

以坐标图表示：

R₂
^
|  C(P₂/σ²)
|  |＼
|  |   ＼
|  |      ＼ 和速率 = C((P₁+P₂)/σ²)
|  |         ＼
|  |            ＼
+-----------------------> R₁
              C(P₁/σ²)

推导（关键步骤）

以 $I(X_1; Y|X_2)$ 为例：

$\begin{aligned} I(X_1; Y|X_2) &= h(Y|X_2) - h(Y|X_1, X_2) \\\\ &= h(X_1 + X_2 + Z | X_2) - h(X_1 + X_2 + Z | X_1, X_2) \\\\ &= h(X_1 + Z | X_2) - h(Z) \\\\ &= h(X_1 + Z) - h(Z) \quad (\text{因为 } X_1 \perp X_2 \text{ 且 } Z \perp X_2)\\\\ &\leq \frac{1}{2}\log\left[2\pi e(P_1 + \sigma_z^2)\right] - \frac{1}{2}\log\left[2\pi e\sigma_z^2\right] \\\\ &= \frac{1}{2}\log\left(1 + \frac{P_1}{\sigma_z^2}\right) = C\left(\frac{P_1}{\sigma_z^2}\right) \end{aligned}$

关键发现: 对于高斯 MAC，不需要时间共享——单个 $R(X_1, X_2)$ 区域本身就是凸的，即为最终容量区域。

6.3 多用户扩展

推广到 $m$ 个等功率 $P$ 的发送端：

$R_{\text{total}} = C\left(\frac{mP}{\sigma_z^2}\right) \to \infty \quad \text{当 } m \to \infty$

但每用户平均速率趋于 0：

$\frac{1}{m}C\left(\frac{mP}{\sigma_z^2}\right) \to 0$

启示: 当存在许多用户时，尽管有大量干扰，仍然可以传输任意大的总信息量——但每个用户获得的速率份额微乎其微。

6.4 一般化高斯 MAC 模型

$Y_k = h_1 X_{1,k} + h_2 X_{2,k} + Z_k, \quad Z_k \sim \mathcal{N}(0, 1)$

记 $S_j = h_j^2 P_j$（接收信噪比），则容量区域为：

$R_1 \leq C(S_1), \quad R_2 \leq C(S_2), \quad R_1+R_2 \leq C(S_1+S_2)$

6.5 X-DMA：高维空间中的多址接入

MAC 在多维信号空间中有更多的设计自由度。考虑 2 维信号：

$\mathbf{Y} = \mathbf{h}_1 X_1 + \mathbf{h}_2 X_2 + \mathbf{Z}$

    graph TB
    subgraph 多维空间中的多址对比
        TDMA["TDMA<br/>h₁=[1,0]ᵀ, h₂=[0,1]ᵀ<br/>正交时隙"]
        FDMA["FDMA<br/>h₁=[1,1]ᵀ/√2, h₂=[1,-1]ᵀ/√2<br/>正交频率"]
        NOMA["NOMA<br/>h₁, h₂ 非正交<br/>功率域区分"]
    end

多址方式	签名向量	特点
TDMA	$\mathbf{h}_1 = [1, 0]^T$, $\mathbf{h}_2 = [0, 1]^T$	时间正交，无干扰
FDMA	$\mathbf{h}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}[1, 1]^T$, $\mathbf{h}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}[1, -1]^T$	频率正交，无干扰
CDMA/NOMA	$\mathbf{h}_1, \mathbf{h}_2$ 非正交	有干扰，但总速率更高

非正交签名的速率分析

考虑 $|\mathbf{h}_i|^2 = 1$，各用户独立高斯输入，噪声为白高斯：

用户 2 的速率（用户 1 视为噪声）:

$R_2 \leq I(X_2; Y|X_1) = \frac{1}{2}\log\left(1 + \frac{P_2}{\sigma^2}\|\mathbf{h}_2\|^2\right)$

在白高斯噪声下，将接收信号投影到 $\mathbf{h}_2$ 方向是最优的。

和速率:

$R_1 + R_2 \leq I(X_1, X_2; Y) = \frac{1}{2}\log\frac{|\mathbf{K}_Y|}{|\mathbf{K}_Z|}$

用户 1 的速率（在已知用户 2 以全功率和全速率发送时）:

$R_1 = \frac{1}{2}\log\frac{|\mathbf{K}_Y|}{|\mathbf{K}_{Z'}|}$

其中 $\mathbf{K}_{Z’} = P_2\mathbf{h}_2\mathbf{h}_2^H + \sigma^2\mathbf{I}$ 是”用户 2 + 噪声”的协方差矩阵。

白化方法

将有色噪声问题转化为白噪声问题：设 $\mathbf{K}_{Z’} = \mathbf{B}\mathbf{B}^H$（Cholesky 分解），左乘 $\mathbf{B}^{-1}$：

$\mathbf{Y}' = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{Y} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{h}_1 X_1 + \mathbf{W}$

其中 $\mathbf{W}$ 是单位方差的白噪声。然后投影到 $\mathbf{B}^{-1}\mathbf{h}_1$ 方向可得用户 1 的可达速率。

6.6 FDMA 与 TDMA 的速率分析

FDMA（频分多址）

分配带宽 $\alpha W$ 给用户 1，$(1-\alpha)W$ 给用户 2：

$R_1 = \alpha W \log\left(1 + \frac{P_1}{\alpha W N_0}\right), \quad R_2 = (1-\alpha)W \log\left(1 + \frac{P_2}{(1-\alpha)W N_0}\right)$

最优带宽分配: $\alpha = \frac{P_1}{P_1 + P_2}$，即带宽与功率成正比时达到和速率最大。

TDMA（时分多址，可变功率）

时隙 $\tau_1 + \tau_2 = T$，$\alpha = \tau_1/T$。在 $\tau_k$ 期间，功率可提升为 $P_k/\alpha$：

$R_1 = \alpha W \log\left(1 + \frac{P_1}{\alpha W N_0}\right), \quad R_2 = (1-\alpha)W \log\left(1 + \frac{P_2}{(1-\alpha)W N_0}\right)$

结论: 可变功率 TDMA 的速率表达式与 FDMA 完全相同——两者在容量意义下是等价的。

    graph LR
    subgraph 多址方式对比
        direction TB
        OPT["最优方案<br/>叠加编码 + SIC<br/>达到容量边界"]
        FDMA2["FDMA / TDMA<br/>正交分配"]
        TDMA2["朴素 TDMA<br/>时分复用<br/>（无功率提升）"]
        OPT -->|"优于"| FDMA2
        FDMA2 -->|"优于"| TDMA2
    end

6.7 速率分裂（Rate-Splitting）

速率分裂是多用户通信中的一种常用编码技术。核心思想：将一个用户的消息分裂为两个或多个子消息，在不同的译码阶段分别消除。

方案描述

将用户 1 的消息分裂为两个子消息，速率分别为 $R{1,a}$ 和 $R{1,b}$：

$\begin{aligned} R_1 &\to R_{1,a} + R_{1,b} \\\\ P_1 &\to P_{1,a} + P_{1,b}, \quad P_{1,b} = \delta, \quad P_{1,a} = P_1 - \delta \end{aligned}$ $X_1 = X_{1,a} + X_{1,b}$

    graph TB
    W1["W₁"] --> SPLIT["速率分裂"]
    SPLIT --> W1A["W₁,a<br/>速率 R₁,a<br/>功率 P₁-δ"]
    SPLIT --> W1B["W₁,b<br/>速率 R₁,b<br/>功率 δ"]
    W1A --> ENC1A["X₁,a"]
    W1B --> ENC1B["X₁,b"]
    ENC1A --> PLUS1(("+"))
    ENC1B --> PLUS1
    PLUS1 -->|"X₁"| CH2["信道"]
    W2["W₂"] --> ENC2["X₂<br/>功率 P₂"]
    ENC2 -->|"X₂"| CH2
    CH2 -->|"Y"| DEC2["SIC 译码:<br/>1. 译 X₁,a<br/>2. 译 X₂<br/>3. 译 X₁,b"]

信道输出:

$Y = X_{1,a} + X_{1,b} + X_2 + Z$

译码顺序: $X{1,a} \to X_2 \to X{1,b}$

可达速率

$\begin{aligned} R_{1,a} &= \frac{1}{2}\log\left(1 + \frac{P_1 - \delta}{\delta + P_2 + \sigma^2}\right) \\\\[4pt] R_2 &\leq \frac{1}{2}\log\left(1 + \frac{P_2}{\delta + \sigma^2}\right) \\\\[4pt] R_{1,b} &= \frac{1}{2}\log\left(1 + \frac{\delta}{\sigma^2}\right) \end{aligned}$

用户 1 的总速率:

$\begin{aligned} R_1 &= R_{1,a} + R_{1,b} \\\\ &= \frac{1}{2}\log\left(1 + \frac{P_1 - \delta}{\delta + P_2 + \sigma^2}\right) + \frac{1}{2}\log\left(1 + \frac{\delta}{\sigma^2}\right) \\\\ &= \frac{1}{2}\log\left(1 + \frac{P_1 + P_2}{\sigma^2}\right) - \frac{1}{2}\log\left(1 + \frac{P_2}{\delta + \sigma^2}\right) \\\\ &= R_{\Sigma} - R_2 \end{aligned}$

速率分裂的意义: 通过在功率域上分裂信号，可以灵活调整译码顺序，使得一个用户的部分信息在另一用户之前消除（减少干扰），其余部分在之后译码。这在非正交多址（NOMA）中是核心技术。

7. 5G 中的非正交多址技术（§2.7）

非正交多址（NOMA）是 5G 移动通信系统中提高频谱效率的关键技术。各方案对比如下：

NOMA 方案	全称	核心原理	特点
PD-NOMA	功率域 NOMA	不同用户在功率域叠加，接收端用 SIC	原理简单，标准化进展快
SCMA	稀疏码多址接入	稀疏映射 + 高维星座	成形增益 + 分集增益，复杂度高
IDMA	交织区分多址	不同用户使用不同码片级交织器	2002 年最早提出，实现简单
PDMA	图样分割多址接入	资源-用户稀疏映射矩阵	基于因子图的迭代接收
MUSA	多用户共享接入	非正交复数扩频 + SIC	利用远近效应功率差异
RSMA	资源扩频多址接入	扩频序列非正交	—
IGMA	交织格分多址接入	格结构 + 交织	—

    graph TB
    subgraph NOMA技术分类
        PD["功率域 NOMA<br/>PD-NOMA"]
        CODE["码域 NOMA"]
        CODE --> SCMA2["SCMA<br/>稀疏码多址"]
        CODE --> PDMA2["PDMA<br/>图样分割"]
        CODE --> IDMA2["IDMA<br/>交织区分"]
        CODE --> MUSA2["MUSA<br/>多用户共享"]
    end

综述文献: Dai et al., “A Survey of Non-Orthogonal Multiple Access for 5G”, IEEE Comm. Surveys & Tutorials, 2018.

8. 本章小结（§2.8）

8.1 MAC 的重要地位

MAC 是极少数已经获得了完整单字母（single-letter）容量区域刻画的多用户信道之一。大多数其他多用户信道（干扰信道、中继信道等）的容量区域至今仍为开放问题。

8.2 容量可达方法总结

方法	适用范围	说明
SC 译码 + 时间共享	整个容量区域	角点用 SC，非角点用时间共享
同时译码 + 时间共享	整个容量区域	对 DM-MAC，不比 SC + TS 更好
编码时间共享	整个容量区域	Han–Kobayashi 方法
速率分裂	高斯 MAC	将一个用户拆分为虚拟多用户

8.3 本章核心概念速览

概念	一句话解释
时间共享（Time-Sharing）	在不同传输策略之间按时分比例切换
时间共享变量 $Q$	用辅助随机变量实现凸组合
编码时间共享	$Q$ 序列也随机生成并作为码本的一部分
同时译码	一步找到与接收序列联合典型的码字对
SC 译码 + 时间共享	逐次消除一个用户，再译另一个；角点最优
速率分裂	将一个用户拆分为多个虚拟用户，分层消除
凸壳	通过时间共享将所有 $R_p$ 区域的并集凸化

9. 考试重点速查表

9.1 核心公式

名称	公式
MAC 容量区域	$R_1 < I(X_1;Y\vert X_2),\; R_2 < I(X_2;Y\vert X_1),\; R_1+R_2 < I(X_1,X_2;Y)$
MAC 容量（凸壳形式）	$R_1 < I(X_1;Y\vert X_2,Q),\; R_2 < I(X_2;Y\vert X_1,Q),\; R_1+R_2 < I(X_1,X_2;Y\vert Q)$
和速率容量	$C_{\text{sum}} = \max_{P(q)P(x_1\vert q)P(x_2\vert q)} I(X_1,X_2;Y\vert Q)$
高斯 MAC 容量	$R_j \leq C(P_j/\sigma^2),\; R_1+R_2 \leq C((P_1+P_2)/\sigma^2),\; C(x)=\frac{1}{2}\log(1+x)$
FDMA/TDMA 速率	$R_1 = \alpha W\log(1+P_1/(\alpha WN_0))$
速率分裂 $R_1$	$R_1 = C((P_1+P_2)/\sigma^2) - C(P_2/(\delta+\sigma^2))$
$E_{i,j}$ 错误概率界	$P(E_{i,j}) \leq 2^{-n[I(X_1,X_2;Y)-2\varepsilon]}$
$E_{i,1}$ 错误概率界	$P(E_{i,1}) \leq 2^{-n[I(X_1;Y\vert X_2)-3\varepsilon]}$

9.2 关键概念对比

维度	点对点信道	多址接入信道（MAC）
用户数	1 发 1 收	多发 1 收
性能度量	容量 $C$（一个数）	容量区域 $\mathcal{C}$（一个区域）
编码约束	无	各发送端独立编码
干扰处理	无	需在接收端处理或抑制

维度	同时译码	逐次干扰消除（SC）
译码方式	一步找联合典型码字对	分层译码，逐个消除
可达性	整个五边形区域	角点可达，非角点需时间共享
对 DM-MAC	不比 SC+TS 更好	SC+TS 已足够

维度	FDMA	TDMA	NOMA
正交性	频率正交	时间正交	非正交
干扰	无	无	有，通过 SIC 消除
容量逼近	多数场景次优	多数场景次优	可达容量边界

9.3 重要定理

定理	核心结论
MAC 容量定理	$R_1< I(X_1;Y\vert X_2)$, $R_2< I(X_2;Y\vert X_1)$, $R_1+R_2< I(X_1,X_2;Y)$，取凸壳闭包
高斯 MAC 容量	无需时间共享，单个 $R(X_1,X_2)$ 即凸
时间共享变量基数界	$\vert Q\vert \leq 2$ 足够
和速率多用户极限	$R_{\text{total}} = C(mP/\sigma^2) \to \infty$，但每用户速率 $\to 0$
同时译码 = SC+TS	对 DM-MAC，同时译码不比 SC+TS 更好

9.4 证明题常用工具

工具	用途
Union Bound	将总错误概率分解为各错误事件概率之和
联合 AEP	控制 $E_{1,1}^c$ 概率（正确码字不典型的概率）
典型集大小界	$\vert T_\varepsilon^{(n)}\vert \leq 2^{n[H+\varepsilon]}$
独立抽取概率界	定理 1.2.2，用于错误码字”碰巧”与接收序列联合典型的概率
链式法则	分解 $H(X_1,X_2,Y)$ 为各分量条件熵之和
恒等式 $I(X_1;X_2,Y) = I(X_1;X_2) + I(X_1;Y\vert X_2)$	$E_{i,1}$ 类型错误的推导关键
凸壳	通过时间共享连接不同 $R_p$ 区域的速率点

复习建议:

MAC 容量定理的证明（§2.3）是本章绝对核心——必须能手写完整的错误概率分析（四类错误 + union bound + 典型集界）。

理解五边形区域的几何意义：两个垂直线段（单用户速率约束）+ 45° 斜线（和速率约束）。能画出容量区域示意图。

掌握高斯 MAC 的容量区域公式，会推导 $I(X_1;Y|X_2) \leq C(P_1/\sigma^2)$。

理解时间共享为什么是需要的（$R_p$ 区域不一定是凸的）以及 $Q$ 变量如何实现凸化。

速率分裂是 NOMA 的数学基础——理解为什么把一个用户拆成两个可以调整速率边界。

计算题可能涉及：给定 $(P_1, P_2, \sigma^2)$ 画 MAC 容量区域、FDMA/TDMA 的速率计算、速率分裂方案的速率推导。